Từ 3 pt dễ dàng suy ra x;y;z đều không âm

Do đó: \(12x^2=y\left(9x^2+4\right)\ge y.2\sqrt{9x^2.4}=12xy\Rightarrow x\ge y\)

Tương tự: \(12y^2=z\left(9y^2+4\right)\Rightarrow y\ge z\)

\(12z^2=x\left(9z^2+4\right)\Rightarrow z\ge x\)

\(\Rightarrow x=y=z\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left[{}\begin{matrix}x=y=z=0\\x=y=z=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

a.

Thay số 12 từ pt trên xuống dưới:

\(x^3+2xy^2+y\left(x^2+8y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^3+x^2y+2xy^2+8y^3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2y\right)\left(x^2-xy+4y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2y\\x=y=0\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)

Thế vào pt đầu:

\(\left(-2y\right)^2+8y^2=12\Leftrightarrow y^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\Rightarrow x=-2\\y=-1\Rightarrow x=2\end{matrix}\right.\)

b.

Thế số 1 từ pt trên xuống dưới:

\(x^7+y^7=\left(x^4+y^4\right)\left(x^3+y^3\right)\)

\(\Leftrightarrow x^4y^3+x^3y^4=0\)

\(\Leftrightarrow x^3y^3\left(x+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\y=0\\y=-x\end{matrix}\right.\)

Thế vào pt đầu: \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y^3=1\\x^3=1\\x^3-x^3=1\left(vô-nghiệm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của hệ là: \(\left(x;y\right)=\left(1;0\right);\left(0;1\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-xy+y^2=3\\z^2+yz+1=0\end{matrix}\right.\)

Cộng 2 vế của 2 BĐT trên ta được:

x² - xy + y² + z² + yz + 1 = 3

\(\Leftrightarrow\) 2x² - 2xy + 2y² + 2z² + 2yz - 4 = 0

\(\Leftrightarrow\) x² - 2xy + y² + y² + 2yz + z² + x² - 4 + z² = 0

\(\Leftrightarrow\) (x - y)² + (y + z)² + z² + (x - 2)(x + 2) = 0

Ta có: (x - y)² \(\ge\) 0 với mọi x; y

(y + z)² \(\ge\) 0 với mọi y; z

z² \(\ge\) 0 với mọi z

\(\Rightarrow\) (x - y)² + (y + z)² + z² \(\ge\) 0 với mọi x; y; z

\(\Rightarrow\) (x - 2)(x + 2) \(\ge\) 0 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}2-y=0\\y+z=0\\z=0\\\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Với x = 2 ta có: (2 - y)² + (y + z)² + z² = 0

Dấu "=" xảy ra 

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}2-y=0\\y+z=0\\z=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2\\z=0\end{matrix}\right.\)

Thử lại thấy KTM

Với x = -2 ta có: (-2 - y)² + (y + z)² + z² = 0

Dấu "=" xảy ra

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}-2-y=0\\y+z=0\\z=0\end{matrix}\right.\) (Vô nghiệm)

Vậy hpt vô nghiệm 

Mk ko chắc lắm ;-; (ko bt đúng ko :v)

Xét pt thứ 2 là pt bậc 2 so với ẩn z.

Ta có \(\Delta=y^2-4\ge0\Leftrightarrow y^2\ge4\).

Do đó ta có: \(x^2-xy+y^2=\left(x-\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2\ge3\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(y^2=4;x=\dfrac{1}{2}y\).

+) y = 2 \(\Rightarrow x=1;z=-1\).

+) \(y=-2\Rightarrow x=-1;z=1\).

\(\left\{{}\begin{matrix}x^3y^2+x^2y^3+x^3y+2x^2y^2+xy^3-30=0\\x^2y+xy^2+xy+x+y-11=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2y^2\left(x+y\right)+xy\left(x+y\right)^2-30=0\\xy\left(x+y\right)+xy+x+y-11=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy\left(x+y\right)\left[xy+x+y\right]-30=0\\xy\left(x+y\right)+xy+x+y-11=0\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}xy\left(x+y\right)=u\\xy+x+y=v\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}uv-30=0\\u+v-11=0\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\left(u;v\right)=\left(6;5\right);\left(5;6\right)\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}xy\left(x+y\right)=6\\xy+x+y=5\end{matrix}\right.\)

Theo Viet đảo \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=3\\xy=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(1;2\right);\left(2;1\right)\)hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\xy=3\end{matrix}\right.\)(vô nghiệm)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}xy\left(x+y\right)=5\\xy+x+y=6\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=5\\xy=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow...\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\xy=5\end{matrix}\right.\) (vô nghiệm)

2 câu dưới hình như em hỏi rồi?

a)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}12x+16y=-1\\3x+4y=-2\end{matrix}\right.\)(vô nghiệm)

Vậy hpt vô nghiệm.

b)\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{5x-1}{5y-1}=\dfrac{1}{2}\\5x-7y=-9\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}10x-2=10y-1\\5x-7y=-9\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}10x-10y=1\\5x-7y=-9\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{97}{20}\\y=\dfrac{19}{4}\end{matrix}\right.\)

Vậy hpt có tập nghiệm là \(\left(\dfrac{97}{20};\dfrac{19}{4}\right)\).

má nhìn đề đã sai